第1章 上一章注释［001］ (第2/3页)

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succ和zero两个基本函数组成了我们要的one，完美。

如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器add，add(x，y)=x+y，怎么用那三种基本函数组合？

也很简单，从具体输入入手：

add(3，2)=succ(add(3，1))=succ(succ(add(3，0)))=succ(succ(3))

似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好add的前提下，先入为主地认为add(3，0)=3.

所以我们不能认为自己就这么简单地构造了add，只能退而求其次地得到以下关系：

add(x，y+1)=succ(add(x，y))，这个式子是十分严谨的。

更具体地，要想算出add(x，y+1)，就要知道add(x，0)=x，我们称add(x，0)=x为基准条件；add(x，y+1)=succ(add(x，y))为递归条件。

看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出add(x，0)=x，就能得到add(x，y+1)，也就能构造出我们想要的加法器。

也很显然，add(x，0)=x=proj11

于是，我们的加法器有了。

这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：

基准函数f:Nn—N

递归函数g:Nn+2—N

使用f和g的原始递归h=pn(f，g):Nn+1—N

对于h:

基准条件：h(x1，...xn，0)=f(x1，...，xn)

递归条件: h(x1，...，xn，y+1)=g(x1，...，xn，y，h(x1，...，xn，y))

回到我们的加法器add：

add:N2→N

add(x，y)=x+y=p1(f，g)

基准条件：add(x，0)=f(x)=proj11

递归条件：add(x，y+1)=g(x，y，add(x，y))=succ(add(x，y))，g=succ·[proj33]

add=p1(proj11，succ·[proj33]）

完美无瑕。

类似地，乘法器mult=p1(zero，add·[proj13，proj33])

前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要proj，zero，succ三种原始函数和组合·，原始递归p这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。

那么“偏函数”呢？

构造偏函数还需要额外的一个操作：最小化。

如果我们有一个函数f:N^n+1—N (这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了)，具体的f(a1，...an，x)，其中a1，...an是固定参数，x是可变参数。

那么最小化操作为：μ^nf:N^n—N它会找到给它输入的n个参数里，最小的一个，并输出

比如f(5，4，3，2，1，0)=0

如果遇到重复参数，那么就输出第一个最小的。

比如f(5，4，3，2，1，1)=1