第1章 上一章注释［001］ (第3/3页)

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假设我们有一个投影函数长这样：

proj21:N2—N (proj21中的2是上标，1是下标，下同，写不动摆烂了)

那么μ^1proj21:N—N

举个栗子：

假如我们给proj21弄一个最小化操作：μ^1proj21(1)，其中1是固定参数。

如果我们穷举一下可变参数，就会发现：

proj21(1，0)=1

proj21(1，1)=1

我们永远也拿不到0，也就不存在最小化。也就是说，对于μ^1proj21而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最小化操作，我们成功地构建了一个偏函数。

加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。除法div需要用最小化操作来构建。

假设，我们收到两参数a和b，想求a\/b，那么其中存在如下关系：

a=qxb+r，其中0≤r＜b

我们想要的就是满足式子qxb≤a的最大的q，这等同于满足(q+1)xb＞a，于是带余除法被转化为了一个最小化问题：

找到最小的q使其满足(q+1)xb＞a

也就是构造一个函数f:N^3—N

f(a，b，q)=1如果(q+1)b≤a，=0如果(q+1)b＞a

f(a，b，q)=lessthanequal(mult(succ(q)，b)，a)

f=lessthaneual·[mult·[succ·[proj33]，proj32]，proj31]

其中lessthanequal=iszero·sub

iszero=sub·[succ·zero，proj11]

sub是减法器

对f进行最小化操作即可得到我们想要的结果。

验证一下：

f(8，5，0)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

f(8，5，1)=lessthanequal(mult(1，5)，8)=0，最小，所以1是输出。

div(8，5)=8\/\/5=1没错，十分完美。

如果我们想计算一下8\/\/0:

f(8，0，0)=lessthanequal(mult(1，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

f(8，0，1)=lessthanequal(mult(2，0)，8)=1不等于0，所以0不是输出。

无论我们给f(8，0，x)传入什么x，都找不到最小的x，所以div(8，0)=8\/\/0无解，符合现实。

如果把最小化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。

好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。

至于无限循环怎么制造出来，从μ^1proj21(1)和div的栗子都可以看出来，如果最小化操作找不到最小值，就永远不会给出输出，这相当于while语句的功能。

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